그래서 Log가 도대체 뭔데? 게임 수학 –

 

애초에 로그가 뭔지 이해할 수 없다.

혹은

로그가 나오는 문제를 풀라고 하면 풀 수 있는데 아직 로그가 뭔지 잘 모르겠다.

그렇다면 이 문장이 도움이 된다.

만약 나는 누구보다 로그에 대해 잘 알고 있다! 라고 한다면

이글의부족이나잘못된부분을찾아보는것도도움이될것이다.

그래서 이번 글을 통해서

로그란 놈이 왜 만들어졌을까.

그래서 로그를 한 줄로 정리하면 뭐라고 하는지 최대한 간단하게 살펴보려고 한다.

출처 – napier.ac.uk ‘아니, 왜 이렇게 쉬운 것도 모르지?’라는 순수한 눈빛으로

우리를 바라보고 있는 이 턱수염 간지 아저씨는

로그를 가장 먼저 발표한 존 네이피어(John Napier)라는 사람이다.

gunaivi, 출처 Unsplash가 턱수염 아저씨가 아니었다면 괜히 복잡하게 로그를 배우지 않아도 됐을텐데! 라고 생각할 수도 있지만,

반대로이턱수염아저씨덕분에우리는아주복잡한계산방법을아주쉽게정리할수있게되었고,

그게 바로 로그다.

Chocoloco, 출처 OGQ 이 턱수염 아저씨는 천문학자인데 당시엔 어떤 계산을 할까?

별과 별이 기준이기 때문에 단순히 거리를 찾아도 단위는 클 수밖에 없었다.

당시에는 지금처럼 컴퓨터나 스마트폰도 없었기 때문에 그것을 계산하기 위해서는 미리 만들어진 표를 하나하나 살펴보거나

일일이 손으로 풀어야 했다.

그게 너무 싫었던 턱수염 아저씨 네이피어는 그런 큰 수의 계산을 단순하게 계산하는 방법을 고민했고,

그 결과 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈으로 계산할 수 있는 기적의 계산법이 생각났는데,

바로 그것이 이 글의 테마인 로그이다.

kellysikkema, 출처 Unsplash에서는 예를 하나 들어보자.

만약 8,192×131,072를 계산기 풀어보자.

끈기만 있으면 해결할 수 있지만 너무 귀찮아서 오래 걸린다.

이번에는 로그를 통해 다시 한번 계산해 보자.

© rvrmakes, 출처 Unsplash 실제 천문학에서는 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

작다? 숫자를 사용하도록 한다.

물론 지금 푸는 방식의 로그는 네이피어가 처음 발표했을 당시의 로그와는 조금 다르다.

그러나 복잡한 이야기는 정리하고 현재의 로그를 사용하도록 한다.

benwhitephotography, 출처 Unsplash 다시 문제로 돌아가자

눈치챈 사람도 있겠지만

8,192는 2의 13제곱이고,

131,072는 2의 17제곱이다.

제곱에 의해 Log28,192=Log22^13=13이라는 값을 도출하게 된다.

Log2131,072 = 17

©impatrickt, 출처 Unsplash의 로그 계산으로 나온 값을 보면,

우리가 알고 있는 지수가 나와 있는 것을 알 수 있다.

따라서, 실제로 로그가 나오고 나서 인류는 지수의 존재를 알게 된다.

현재 우리는 지수라는 개념을 알고 있지만,

당시만 해도 2의 13제곱은 단지 2를 13번 곱한 것으로 이것이 덧셈 법칙이 된다.

이런 개념이 없었다는 뜻이다.

nordwood, 출처 Unsplash 아까 말했듯이

곱셈은 덧셈으로 바꿀 수 있고,

나눗셈은 뺄셈으로 단순화시킬 수 있으므로

13+17이 되고 답은 30이 된다.

그러면 Log2?=30이 됩니다.

진수는 2의 30제곱이므로

1,073,741,824라는 결과가 나오면 된다.

그리고, 실제로 계산기를 두드려 보면, 그 값이 나오는 것을 알 수 있다.

greystorm, 출처 Unsplash 그래서 누군가가 한번만 희생하고 2의 제곱을 모두 구한 후 미리 표로 만들어 놓으면

2의 54제곱과 같은 값이 나와도 표를 이용해 바로 값을 알 수 있을 것이다.

하지만 이쯤 되면 이런 의문이 들지도 모른다.

jules_bss, 출처 Unsplash 아니 그럼 2의 n제곱 3의 n제곱 이런 거 다 쓰는 거야? 그거 나름대로 재미없는데?

그렇다, 실제로 앞서 말한 것처럼 원래의 로그에는 밑이라는 것이 없었다.

jtylernix, 출처 Unsplash 뒤에 턱수염 아저씨와 또 다른 똑똑한 아저씨가 만나

우리가 실제로 사용하기 쉽게 10을 기준으로 하는 로그를 만들기 시작한다.

10의 제곱은 거듭할수록 뒤로 0만 더 붙이면 되므로 매우 편리하기 때문이다.

그리하여 Log 1은 0, Log 10은 1이라는 규칙을 정했고, 이것이 오늘날의 상용 로그이다.

© scot the witt, 출처 Unsplash 상용로그란 아래의 10이 로그인 것을 의미합니다.

로그 1이 0이 되고 로그 10이 1이 되려면 아래가 10이 되어야 하기 때문이다.

이 때의 로그가 현대 로그의 기준이 되므로 상용 로그의 ‘하’는

원래 만들어진 당시처럼 별도로 표기하지 않기로 했다.

그런데, Log 100은 2와 같이, 10의 제곱은 바로 답을 알 수 있습니다만,

Log27처럼 10에 딱 떨어지지 않는 숫자는 어떻게 해야 할까

raduflorin, 출처 Unsplash 정말 다행히도 당시 상용로그를 개발할 때 미리 계산해서 표로 만들어 놓았다.

즉 골치 아픈 계산은 거의 없다는 뜻이다.

또, 표를 보면 알 수 있지만, 아래가 10이 되면 소수점을 가지는 로그도 구할 수 있게 된다.

54*10^-1은 5.4가 되도록 소수점을 10으로 표현할 수 있기 때문이다.

그리고 상용 로그의 진수가 10단위가 되면 정수 형태로 만들 수 있기 때문에

나중에 계산하기 쉽도록 소수 부분과 정수 부분으로 분리할 수 있다.

Log100 + Log27 – 2 + Log27처럼

이때 2를 지표 또는 정수부라고 불렀고,

Log27을 가수 또는 소수파라고 부른다.

flow interactive, 출처 Unsplash 등의 상용로그 외에도 무한히 큰 숫자를 계산할 때 사용되는 자연로그도 있습니다만,

내용이 너무 길어지니 무한히 큰 숫자를 계산할 때 사용된다는 정도만 알아두자.

그런데, 정리하면 이렇게 될 것 같다.

로그란 무엇인가?

로그란 큰 수를 용이하게 계산하기 위한 도구이다. 라고 정리할 수 있다.

clemhlrdt, 출처 Unsplash 현대에서는 큰 수치산을 컴퓨터가 대신해주니까

로그의 역할이 애매해졌다고 생각되지만,

대수 계산법 자체가 주는 근본적인 의미이다

진수를 아래로 하기 위해서 아래로 몇 번 나누어야 하는가 하는 특징을 이용해서

어떤 단계나 상태를 나타낼 때 여전히 유용하게 사용되고 있다.

말하자면

컴퓨터 공학에서는 ‘빅오’ 표기법으로 불린다

알고리즘의 시간 복잡도를 표기하는 있는데

그 중 O(logn)가 앞서 언급한 큰 계산의 역할보다

어떤 단계를 설명할 때 사용하는 대표적인 예라고 할 수 있다.

O(Logn)의 Log 아래에는 2가 생략되어 있지만

2진 탐색을 보여주기 위해서다.

즉, 간단히 말해 원하는 결과를 찾을 때까지

조사 범위를 절반씩 줄여나갈 때 몇 단계가 걸리는지 표현한 것이다.

추가 1.

왜 곱셈 나눗셈이 덧셈 뺄셈으로 바뀌는지에 대한 증명은

로그 개념 이해를 중심으로 하는 이 글의 주제에서 벗어나기 위해 따로 정리하지 않는다.

사실 이 글을 쓰고 있는 저도 굉장히 궁금한 건데

인터넷에서 찾을 수 있는 자료는 지수 법칙이 그 때문이라는 역설적인 대답만 내놓기 때문이다.

기회가 된다면 수학자들에게 직접 물어볼 생각이다.

추가 2.

로그의 풀네임인 로갈리즘(Logariothm)이라는 단어는

고대 그리스어에서 비율을 뜻하는 Logos와

수를 뜻하는 arithmos의 합성어로,

비율을 계산한 수 정도의 의미를 갖는다.

왜이런이름이붙어졌는가하는설들중의하나를소개해보자면,

당시 천문학이 중요했던 이유는 항해술이 발달하던 시기였고 항해와 관련이 깊기 때문에

로그를 개발하는 과정에서 배의 속도를 계산하기 위해

간격으로 묶인 밧줄을 배에 묶어 출항시킨 뒤

매듭의 개수 등을 고려하여 매듭 사이의 간격과 열의 총 길이 비율을 해석하였는데,

이때 줄의 비율과 매듭의 숫자가 ‘로가리즘’이라는 이름에 영향을 주었다는 이야기가 있는데요.

확실히 그대로인지는 모른다.