극한과 편도 함수 5. 두 변수 관수의

 일변수 함수의 경우 어떤 점에서 의 극한은 좌극한과 우극한이 같은지만 확인하면 되는데 이 변수 함수의 경우 그래프가 3차원이기 때문에 모든 방향에서 극한이 같아야 하기 때문에 결정하기는 좀 어렵다.

예제 5.1. 다음 극한을 알아보십시오.풀. x축을 따라 이동하면 항상 y=0이므로 극한은 1로 간다. 반대로 y축을 따라 이동하면 항상 x=0 이므로 극한이 -1 로 진행된다. 따라서 두 경로로 극한값이 다르기 때문에 이 극한값은 존재하지 않는다.

예제 5. 다음 극한을 조사하십시오. 해.이 극한은, x축과 y축, 임의의 y=mx직선에 대해 조사해도 0이 나온다. 그러나 곡선 y =√x를 따라 이동하는 경로를 고려할 때 lim (x→0)x22x2=12가 나오므로 이 극한값은 존재하지 않는다.

예제 5.3 다음 극한을 알아보세요해석. 이 극한을 조사하기 위해 다음의 부등식을 이용한다. xy_0과 xy<0 일 때 x2 + y2-|xy|를 완전 제곱식과 제곱의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다. 그러면 다음과 같다.따라서 다음과 같다.우변의 3|x|는 경로에 관계없이 극한값이 0으로 가고, 좌변의 절대치가 우변보다 작다고 했으므로 좌변의 극한값도 0이어야 한다.

이 변수 함수의 편미분 또는 편미분은 다음과 같이 정의한다.다음의 그림을 보면, 이 값이 y가 고정되어 이동할 때의 점(a,b)에서의 접선의 기울기가 되는 것을 알 수 있다.

fx(a, b)>0이라는 의미는 점(a, b, f(a, b))에서 정의 x축측으로 이동할 경우 함수가 증가한다는 의미이다. 임의의 방향으로의 증가와 감소는 x축과 y축으로의 증가와 감소가 결정되면 모두 결정된다. 이것을 방향도 함수(directional derivative)라고 한다. 여러 번에 걸쳐 편미분 하는 경우 다음과 같이 표기한다.fxy와 fyx는 항상 같을 수 없다.

정리 5.1. 클렐로 정리 (C lairaut’s Theorem)

f가점(a, b)을 포함한 영역 D에서의 함수로 한다. f가 이 영역에서 연속인 이계 편도함수를 가질 경우, fxy(a, b)=fyx(a, b)이다.

이후의 기술은 모두 fxy=fyx의 경우로서 진행한다.